Ejemplos: 1. Según la definición: 2 i x-+ a ( a l l a 22—a 12a 21 ) a) A P L IC A C IO N E S D E L A D E R IV A D A Racionalizar es un procedimiento que tiene por objeto eliminar los radicales en algunas expresiones algebraicas, bien sea de un numerador o de un deno minador. (f • g) es continua en c. es continua en c, sig(c) ¥= 0. k = 2 ln 3, luego - ln (T - 25) =’ (2 ln ¿ jt - ln 75 para t = 2, la temperatura T, será: - l n ( T - 25) = (2 ín 3)2 - ln 75 ln ( T — 25) = /n 75 — 4 Zn 3 ln (T - 25) = Zn 75 — ln 81 Algebra de derivadas De manera más general, definimos la igualdad de símbolos que represen tan números reales, como sigue: dos símbolos, a y b, que representan núme ros jreales son iguales si, y solamente si, representan el mismo número real. jc2 Ejemplos 1. V i) Resolviendo se obtiene: 1 y zontal en y =— ya que 2 es el coeficiente de la variable de mayor grad*o del O numerador y 3 es el coeficiente de la variable de mayor grado del denomina dor, como se muestra en la figura. . 7T Luego, al remplazar x por cero, obtenemos Como una extensión más, tenemos lo siguiente: cualquier sucesión de adiciones y sustracciones, com o a — 6 + e + e — f — g, se define igual a la suma a + (—6) + c + e + (—f) + ( - # ) = (a + c + e) — (b + f + g) así, 3. Polinomios cuadráticos en este caso, WebCORE – Aggregating the world’s open access research papers 1 V2 Los cuantificadores se dividen en universales y existenciales. 3 Un par ordenado (jc, y ) de números reales es un par donde el primer ele mento es x y el segundo elemento es y. Como consecuencia de esta ordena ción, el par (x, y) es distinto del par (y, x), si x¥= y. , con u = f(x) = 15¿cr y y = g(x) = —2 x2 , entonces dx Una figura puede ser de gran ayuda. 2 1 Como x 3 + x, el eje X desde x = 1 hasta * = 4 Suma de matrices Si A y B son dos matrices de tamaño mX n tal que A = (a(/) y B = (bif), en tonces la suma de A y B es la matriz A + B = (a¡¡ + an + ^11 A + B = (a¡¡ + Bi¡ ) = x 3. c ' " 150'000 ( 1 + = { x I x € Dom f A f ( x ) G Dom g x ¡ x * 1 A-— + 5 > 0 1—x = (-00,1) U » (x2 + 6x + 5) _ 3 2) = 1— -+■ _ ^ 2 257 Verifique que B-A también es E 3 Por lo anterior, afirmamos que B es la inversa de A. U m para la obtención del área de algunas regiones planas, y tema obligatorio de casi todos los textos. 2x Ejemplos Efectuar las operaciones indicadas 1. M A T E M A T IC A S U N I V E R S IT A R IA S 1 1 i El hecho más importante en la representación es que a cada punto de la recta corresponde un número real, y solamente uno, y que a cadá número real corresponde un punto de la recta y solamente uno. + X + -7 - = — 1 + -T- Si a, b e R, áb = 0 ( l ) , entonces a = 0, ó b = 0 Recuerde que: 1. + 2y2) — (lOay — 5y2 ) ] 2. Por el contrario, una función de la forma Q(t) = Qo a~ kt representa un decrecimiento exponencial. Para calcular el límite transformamos la función inicial así: ^ x7 — 4 -T = i— luego McGraw-Hill. -1 + 1 2 |- 8 0 | Í l ¿t Polinomios lineales (La recta) = ’ (-0 0 ,-1 3 )^ 1 (7 ,0 0 ) Número de aptos, a vender 20; Precio por apto. Para ello: Elabora anualmente el Informe de Seguimiento Interno, en base a los resultados de los indicadores y evidencias del Sistema de Aseguramiento Interno de Calidad, donde recoge el análisis de su … 32*1 a y* Ax-*■0 LOGICA 25 r 4xy det A = 2 2 e) encada uno de los siguientes casos: 6. -3 capital interés anual número de veces al año que se capitaliza el interés número de años Para ello se escoge un valor cualquiera de * por ejemplo 0, y después se remplaza en la ecuación dada para calcular el correspondienté valor de y, ásf: y =3(0)+2 y = 0+ 2 y = 2 De manera similar podríamos comprobar que, efectivamente, (—2 , — 4), (—1, —1), etc. 3. f) Ingreso marginal 52 = 25 ó 3 • 3 = 9 Producto de los signos Para efectuar el producto de los signos, procedemos así: Producto de signos iguales da positivo (+) Producto de signos diferentes da negativo (—) 20 , dr *(3)(9m 2) — dt Enter the email … q -2 2 = 2X (ln2)3 301 10 3 —6 2. - Resuelva la ecuación x 2 + 10a: + 16 = 0 Esta ecuación se puede escribir com o una ecuación equivalente pero factorizada. 44 i) JL 7 1 — Así pues, 5 ! 6.1 Capítulo 7 = 0, x = 0, x = —4 c) = Hallando respectivamente los factores de 9 y 2, Factores de 9 = 2 M A T E M A T IC A S U N IV E R S IT A R IA S 8400 an 4 11 1 L 11 X d) ( 0 , 5 ) y ( - | - , l ) 2. Utilizando la operación elemental tres, multiplicando la fila uno por - 2 y sumándola a la fila dos y multiplicando la fila uno por 6 y sumándola a la fi la tres, obtenemos: 2 + 1 (-2 ) - 6 + 1 (6) 0 De forma simi lar en y 3, y es la base y 3 el exponente. Decimos que una gráfica es cóncava hacia arriba si la gráfica queda por arriba de sus rectas tangentes, en caso contrario, decimos que es cóncava ha cia abajo. Ecuaciones coseno 9 M A T E M Á T IC A S U N IV E R S IT A R IA S + c, n # —1 Después de 15 años el dinero se ha triplicado. c) (- 1’ t ) 0 4 tn dh ------ + 2Rh dt 290 2 -2 R (x )= - 5 c) d) e) (v/3 cT T ) - b) El radio se desintegra exponencialmente. 13.2 La gráfica de una función -3 d) Nombre un conjunto en el cual la división sea una operación bina ria. 3 R- {1,2} El valor de verdad de una proposición es la veracidad o falsedad de ésta. h) En nuestro caso, jc3 V P T T ? X d) 12o2 - 2 7 e) o2 - 13ab + 3062 f ) 3JC2 - 2x - 8 g) Esta relación tiene una característica especial: cada elemento del conjunto X es transformado en un único elemento del conjunto Y. Una relación que cumple esta caracterís tica recibe el nombre de función. k) _ 168,800,000 U (10,000)=---------- ------ !------- = $16,880 ; 10,000 es la utilidad promedio. para m = n Derivada de las funciones trigonométricas d du — (sen u) = eos u — dx dx d 2 Figura 7.3 La parábola. 191 x ( i ) x Df = ( 1,~) V 2 b) ¿Cuál debe ser el precio de cada artículo para obtener ingresos de Referencias Hoffmann, Laurence D. Cálculo aplicado para administración, economía, contaduría y ciencias sociales. 0 a * 10 = 8 La adición es una operación binaria, es decir, que podemos sumar única mente dos números cada vez. R( x + A*) — !? 1 1 1 219 3 j e * d x + 4 j x ' 1 dx = 3e* + — = 3ex — 4jc_1 + c Las anteriores integrales se realizaron en forma casi inmediata aplicando las fórmulas estudiadas. AR 312 32 a2 — a + 2 f 12 - b) o simplemente & dx 0" mínimo {\ fa )r A p é n d ic e A Area ka23 + (6 + Lím f(x) x -*■ 1 2. 1 1 4 3 M A T E M A T IC A S U N IV E R S IT A R IA S 263 IR U x > 1 R d(y2 + 2*3) dy ---------= 2y — — + 6x dx dx Se asume que “ y ” es una función que depende de x. dy Para calcular —— en una función implícita se deriva en ambos miemdx dy bros de la ecuación con respecto a x y se despeja de la expresión obteni da: da. q i —6 y B = _b É) ~ 1 J m . Algebra y trigonometría con geometría analítica. En los dos capítulos anteriores estudiamos el concepto más importante del cálculo diferencial: la derivada. Conjunción Arquitectura. - h: a 22 J entonces se define el determinante de A, det A, de la siguiente manera: ‘ 1 Ejemplo5 Resuelva: (2x)2 _ 4x2+ 3x+ 2 x+ 1 (2x)2 f(*) 1 Ejemplo 26 djc -----dy René Descartes (1596 -1650) los utilizó por primera vez, contribuyendo en gran medida a los avances matemáticos de la segunda mitad del Siglo XVII. 1 V N UM EROS Calcule A + B y A ‘ B 4. e punto de inflexión Raíces racionales o M ATRICES 179 miles de _ d) 1 a) 0 — 2jc + 1) ^ . Need an account? Demuestre que el costo total se rá el menor si el tamaño de los cargamentos es tal que el costo de alma cenaje y el costo de pedido son iguales. , luego los posibles valores de fe son: Fernanda Vazquez Vela. V3a:+ 16 — V2a: + 5 = —1 ¿Por qué? C33 , B * 0 "3 + X A + M A T E M A T IC A S U N IV E R S IT A R IA S Tomando u = jc3 y v = ¿A qué velocidad se aproxima el bote a la base del muelle cuando está a una distancia de 15 m de ésta, si el hombre hala la cuerda a razón de 3 m por segundo? Es claro que j c + 2 > 0, luego el dominio de f es: Df = [—2 , ° ° ) . 4. demanda p = 28 — x = —(— yfT)=\f% Manejar correctamente las propiedades de la función exponencial. . — Halle el valor de * para el cual la función de costo medio es míni ma. de donde se obtiene , x 3 + . : +^ 1 f e f y u - t : 1) ) = Existen dos rectas tangentes a la curva y = x 2 que pasan por el punto (1 ,-3 ). 52 *= n 46 x 2 ) ( g) 2 * — por lo que C7'(10,000) = 20,000 — 0.6 (10,000) í/'(10,000) = $14,000 Resolver los siguientes problemas: a) Una fábrica de relojes produce 150 unidades a un costo total de $750,000 y 250 a un costo total de $1,125,000; suponiendo que la ecuación de costo es lineal, encuentre cuánto vale producir 200 relo jes. P u n t o s P i,p 2 6 0 $ (Í)2 b 21 t+ 1 — Obtenga una fórmula para el ritmo de cambio de la población con respecto al tiempo. A P L I C A C IO N E S D E L A D E R IV A D A 6 sT í X V F 1 0 En nuestro caso, f ’(x) = 3x2 — 8 x + 5. 0 m= A A A A 6 j * 2 + 6 Propiedades de las operaciones binarias 9. + 3 = 4 7+13 10 = f f(x) dx f(x) - — °° 1M nos permite concluir que cuando x se acerca a 2 f(x) no tiende a un único vaLím x2 + 2x+ 1 no exislor (véase gráfica), por lo que concluimos que —--------------xte. n xi 5. a) y = 2xex < 3e 2 (1 —2x —2xlnx) c) y = ----------- 1--------------------x Solución: Sea x la cantidad de pares de zapatos vendidos a $8,000 500 — x la cantidad vendida a $13,500 “TT~> dxr Para realizar este producto efectuamos el producto factores y este nuevo producto lo multiplicamos por el tercer ractor. McQnw-Hill. 21 81 d) T x4(x + "2)--9 x 4 2 V ~dT ~ 0* 376 Una proposición cuantificada también tiene su valor de verdad, verdade ro o falso. Sin em bargo, ésta no es la única manera de expresarlo; en posteriores capítulos en contrará distintas formas de hacerlo. Ejemplo 2 Resolver la siguiente ecuación: 8* = 15 4 y = —jc+g- El fabricante desearía elevar el precio y estima que por cada $80 pesos de incremento en el precio se venderán 1000 bombillas menos cada mes. 13 = $150 f(g( jc ) ) c' * c (x + io b ) " Así, un capital inicial de $150,000 colocado a un interés del 18% anual capitalizado mensualmente, generará al término del año: $150,000 ( i + M A T E M A T IC A S U N IV E R S IT A R IA S 2 Como 1 > 0 entonces la parábola abre hacia arriba. 3.1 ( 5 ) y (6) e) - ll + w Th Con frecuencia se les llaman “ en teros positivos” , “ cero” y “ enteros negativos” . Notor = $40 ; Coflin = $50 Neverstact recorre 40 km y Everknock recorre 51 km. 5 = f + 0.1(* + A*)2 - [1,200,000 + 0.1 a2 ] - 400 2a La podemos representar por I. Ejemplo 9 / = Relaciones entre rectas (f ± g) es continua en c. Se define el costo marginal com o el cambio en el costo total debido al indc cremento de una unidad en la producción, y se representa por , esto es: dx (y -fe )2 a2 ¿Estará creciendo o decreciendo su demanda? m no existe Aplicar el concepto de derivada a la solución de problemas. :] 180 Una ecuación lineal de una variable tiene la forma corriente de: ax + b = 0 donde a y b son números reales y a =£ 0. 180 M A T E M A T IC A S U N IV E R S IT A R IA S f ‘ i.ím Lím + 4X2 - 1) xx--*■ 4 V g) 118 g) | - 3 * + 6| < 9 h) —9 < * + 9 < 7 i) Propiedad asociativa: Una operación binaria definida en un conjunto S nos permite combinar dos elementos de S y obtener un tercer elemento de S. Sin embargo, no nos dice cóm o combinar tres elementos de S tales com o a * b * c. Por esta razón introduciremos la propiedad asociativa de una ope ración binaria y demostraremos que si la operación posee esta propiedad, entonces podemos dar un significado al símbolo a * b * c. Para introducir el concepto de asociatividad tomaremos como ejemplo la adición de números reales. 0, entonces a3 > 0. V Véase Figura 13.3. 2.1 B se puede representar así: B = 0 Matriz cuadrada: Se denomina así aquella matriz donde el húmero de fi las es igual al número de columnas. PAq ~ Haría. b) x x1 —x —2 a) a x —z = 0 y + z= 1 2x — y = 5 = 1 0 * 8 + 24x5 + 15*4 + 3 235 r WebMatematicas Universitarias Cuarta Edicion listas de archivos PDF ... es.notices-pdf.com/matematicas-universitarias-cuarta-edicion-pdf.html UNIVERSIDAD NACIONAL … Utilizar el teorema del factor y el teorema del residuo para resolver ecuaciones y factorizar funciones polinomiales. — A medida que j c toma valores grandes, los valores de y son cada vez más pequeños aproximándose a cero. 6 » 1 , 3X2 + 2 = — -------------- • (3X2 + 2 )= —-----------x3 + 2 x —1 x3 + 2 x + 1 3 .. 3 — y/í + 2x v (—5)2 = V ÍF 3. , luego Resolver problemas de aplicación de máximos y mínimos. 2 3 f ( 2 3 — es — porque 3 2 1 x =— 1 Ecuación general: A x + By + C = 0 — A un precio de $600, ¿cuál es el ingreso marginal? dx * cm g) Un punto se mueve sobre la curva y = x 2 de forma que —— vale 2 — — dt min dy Halle cuando: dt x —0 x= 3 h) Un punto se mueve sobre la curva y = Halle Ejemplo 12 Halle la ecuación de la recta tangente a la curva f(x) = x? V 4 La gráfica de f(x) = El problema de la descomposición de factores puede ser complicado algu nas veces. M A TEM A TIC A S U N IV ER SITA R IA S Para medir el tamaño de un ángulo, tal com o el B , , se traza un círculo con centro en B. -9 Al finalizar el presente capítulo el estudiante estará en capacidad de: 1. Al terminar el presente capítulo el estudiante estará en capacidad de: 1. \fa + \fb2 Propiedades fundamentales Para hacer el primer elemento de la primera fila igual a 1, dividimos por la primera fila. jc 1 3 9 ± 1 , ± 3, ± 9, ± - , ± - , ± j Utilizaremos la división sintética para verificar cuáles de las anteriores son raíces de P(x). 2 a22 Graficar ecuaciones polinomiales (rectas y parábolas). Debe obtener en cada caso una tautología. 2X3 — 360° A L G E B R A B A S I C A 67 4. 121 3x-5y+2= 0 dv 1 y —— = 4x, entondx Producto por un número positivo Si a, b y c son números reales tales que a > b y c > 0, entonces ac > be; ésto es, si una desigualdad se multiplica por un número positivo el sentido de la desigualdad se mantiene. La adición y la multiplicación son operaciones binarias asociativas en R. 2. 1 a '1 = — a = fila 1 fila 2 fila 3 d) V j) f 15a: + 2y — 4 = 0 13a: — y — 9 = 0 Por tanto, la ecuación anterior es verdadera si, y solamente si, = x 217 X2 du $150.00. e) En este capítulo nos dedicaremos a las desigualdades y las inecuaciones, las pro piedades de las desigualdades, los diversos métodos de solucionar y escribir las respuestas de las inecuaciones, y los intervalos de números realer, asimis mo, se realizarán las demostraciones de una buena mayoría de las propieda des de las desigualdades. 1 Pontificia Universidad Católica de Chile Facultad de Matemáticas Departamento de Matemáticas Primer Semestre 2016 FM2 ⋆ Fundamentos de la … El resultado neto de estos teoremas es que las desigualdades se compor tan casi siempre com o las igualdades. e) La representación gráfica de este conjunto es: F De hecho f'(x) es siempre positiva, y por tanto f es siempre creciente. Reglas de los radicales e) Ax Au L4 '-i \x/x>a) V Una de las aplicaciones más usuales del cálculo diferencial, es hallar máxi mos y/o mínimos (puntos óptimos) en problemas prácticos de aplicación. 3. 2 98 M A T E M A T I C A S U N I V E R S I T A R I A S 2x? X ' y Ac entonces Ac [3 x 2 — 2 x — ( j c 3 )] dx = +2 Sustracción de a en ambos miembros 2 175 Para encontrar la ecuación de la recta que es tangente a una curva en un pun to dado, necesitaremos encontrar la pendiente de dicha tangente. - Ix y + 2y2 + 19a - 13y + 2 0 5. 330 V Se dice que f es una función creciente en un intervalo, si da dos dos puntos x x y x 2, con x¡ < x 2, entonces f ( x l ) < f (x 2). X En la Tabla 13.2, observamos que x = 1 es un punto máximo, f pasa de 5 creciente a decreciente; x = — es un mínimo, f pasa de decreciente a cre3 ciente. x —2 jc 1 Para realizar la suma algebraica de fracciones es necesario que éstas tengan un común denominador. jc 2 Figura 10.6 f) WebMEGA provides free cloud storage with convenient and powerful always-on privacy. = 3 3 £ 3 e) e $ = 1.395612 d) Determinar las regiones de concavidad (convexidad). eo Dicha panadería tiene una sucursal en el sur y otra en el centro. 5 + V 3í Ejemplo 3 En la siguiente ecuación de oferta *(p) = (100 + p )2 - 300p calcule Ax, si el incremento en el precio es Ap = $10, para p = $100 y para p = $200. £(*) f'(x) - f(x)g'(x) 2. 5l y4 53 y 6 (5 - y f x ) (2x3 - 4 ) -y/ x - ,3 2x3 (X 3 2. c) Referencias Lipschutz, Seymour. 2 — „3 -9^ x + 4^: = — 5 2 y/T a) En este caso, 0.38 representa la variación del dólar con respecto al tiem po, esto es, la pendiente; luego m = 0.38 Suponemos que el día de hoy es el día cero, luego conoceríamos el punto P(0.360); por tanto, y = 3 60 + 0.38 ( jc— 0) y = 360+ 0.38* b) En 10 días el precio del dólar será y = 360 + 0.38(10) y = 360 + 3.80 y = 363.80 7.4 Si escribimos los números 2, 5 y 8 en este or den: 2, 5, 8, queremos encontrar el valor de 2. Certificado de 240h. 25 La fórmula (2) para el coefi ciente del binomio puede escribirse entonces n(n — 1) (n — 2) . d) R — { o | g) suma y producto © Lím f(x) x-+ 2" -b -d a una recta son: dx “ 4 jc ) ( 2 T. Lim x->0 (2 a ) (2 a ) (2 x ) (2 x ) Ejemplo 11 Divida: 1. ( jc 6. = - 3 + 3 = Trillas. 247 Capítulo 8 1. a) (x - 2) (x + 5) Como queremos solucionar (jc — 2) ( jc + 5) > 0, entonces la solución es el intervalo (unión de intervalos) en el que el signo es positivo; luego el con junto solución es (— « , —5) U (2, oc). Luego X = A~l -B, lo que nos permitirá encontrar la solución del sistema. °1 2 Por medio de la división sintética, analizada en el Capítulo 7, conclui mos que x = 1 y x = 2 son soluciones de la ecuación; por tanto x = 1 y jc = 2 son los cortes de la gráfica con el eje X . 3 Determine el valor de verdad de cada uno de los siguientes enunciados: a) Si 3 < 5, entonces —3 < —5 b) Si 2 + 2 = 4, entonces 3 + 3 = 7 si, y sólo si, 1 + 1 = 4 c) V 16 = 4 ó V 16 = —4 d) 6 + 4 = 10 y V~Z’ \T2 = 2 e) V "3 + ^ I = / 5 y 4 + f) dx Dados los conjuntos E = {* I x es un número par) 1-----o M A T E M A T IC A S U N IV E R S IT A R IA S : : : : 23Ver derivación implícita, página 268. 3. A* = x 2 — * x f e x d x = ex + c J a f(x) dx = a f f(x) dx, a constante I [f(x ) + £(*) d x = (2x2 + Solución: Consideramos cada punto de la recta de la forma (x, y), donde x representa el tiempo en días y y el precio del dólar. Cálculo y geometría analítica. 12 -s/ 2 1 2 2(4)2 — (4) — 3 4+1 8 Un polinomio es una expresión de la forma P(x) = a<> + ai x + a%x2 + . ,3 3*2- l i a : - 6 = 0 3 la inversa de A es: " C mínimo = 4 ( V Además, si a es una raíz de P ( jc ) , (jc — a) es un factor de P ( jc ) . I jc — 7 I 11 ------------------ a Por tanto el número real cero carece de in verso multiplicativo. Para calcular en esta última expresión -----2 \y = - 296 ( x — h)2 + (y — k)2 = R 2 x-+ a Lím jc y f b) ~ X 144 IN E C U A C IO N E S Lím (3 — jc) = 1 x -*• 2* d) A con tinuación se hallan los valores de verdad de las diferentes proposiciones com puestas que se puedan establecer utilizando la Tabla 2.2. 172 277 M A TEM A TIC A S U N IV ER S ITA R IA S Ejemplo 1 Son números complejos 2 + 3/, 5 — 7/, —— i. O En la Figura 3.1 se muestran las diferentes clases de números y las rela ciones que existen entre ellos. Usualmente el fabricante produce 80 unidades por mes y planea aumentar la produc ción mensual en una unidad. f( 6) = 7 En la Figura 10.4 aparece el diagrama que ilustra la situación. = [(a*)T ] 1 2-1 40,000 189 ( jc2 + 2 * + 1) — (y2 + 8 y + 16) WebINTRODUCCIÓN. 5, si x = 2 Calcule - 1 McGraw-Hill. 1 a x > b x + c, y en general todas las desigualdades donde la variable es lineal. 156 x= 2 3 Niegue la siguiente proposición: [ (p V q) A r] =*■ [s V (q A t)]. 8" . En el ejercicio anterior obtuvimos la inversa de A . 1 c) = — = x*1 x d Sistemas numéricos Como el ingreso R, se define R = x p, entonces R se puede expresar en términos de x, el número de unidades vendidas, o de p, el precio, así: R (*) R (p) ’ entonces Ejemplo 23 La siguiente ecuación, C(x) = 1,200,000 + O .lx5, representa el costo para producir x unidades, que determinada fábrica vende según la siguiente ecua ción de demanda: x = 100,000 — 5p a) ¿Cuál es el costo promedio de producir 10,000 unidades? La ecuación equivalente a ésta es: / Leyes de las proposiciones lógicas Un gráfico puede ser de gran ayuda. - y (4\ /* 4 ) (*), 1 = ----- .luego x = jc3 Matemáticas aplicadas a la administración y ala economía. \/x — 1 7 230 a) ¿Qué fracción de tostadores puede esperarse que trabajen al cabo de tres años? a2 + 1 \/3a2 + 2 a + 5 = f'(x) ± g\x) Observe que el procedimiento anterior para obtener el elemento c n (ele mento de la primera fila y primera columna de la matriz producto), es equi valente a multiplicar término a término los elementos de la primera fila de W con. como A* = x(p + Ap) — *(p), entonces A * = [10,000+ (p + Apj1 - 1 0 0 ( p + Ap)] — [10,000 + p 2 - 1 0 0 p] Ax = (p + Ap)2 —p 2 - lOOAp, luego para p = $100 A* = (100 + 10)2 - (100)2 - 100 (10) Ax = 12,100 - 10,000 - 1 0 0 0 Ax = $1100 para p = $200 A * = (200 + 10)2 - (2 0 0 )2 - 100 (10) 2 A, a) Ecuación punto-pendiente La ecuación (7.2) f(l) En los dos primeros ejemplos el m. c. d. es el producto de los dos deno minadores ya que ninguno de ellos contiene al otro. = 2x + 2, 4. d dx Entre los matemáticos que niás se destacaron en el trabajo de funciones está Leonard Euler (1707 - 1783), a quien se debe la notación y = f (jc). f'{x) = Un intervalo es un conjunto de números reales. — ¿Cuántas máquinas deberían usarse para minimizar el costo de pro ducción? Capítulo 11 1. e _4 Trigonometría La parte más útil de la trigonometría para el cálculo incluye el estudio de tres funciones fundamentales: el seno, el coseno y la tangente. _ 34 0.00141 0.00675 0.0128 0.0231 5. M A T E M A T IC A S U N IV E R S IT A R IA S Grupo Editorial Iberoamericano. c) 6. y (* + 2) (* + 3) (* + 4) (J C + 1 ) (JC — 1 ) (JC2 + POLINOMIOS Y FUNCIONES POLINOMIALES WebLas propiedades R1 a R 8 constituyen los fundamentos algebraicos de los números reales y de ellas se derivan otras importantes leyes del álgebra. Realice los siguientes productos y reduzca los términos semejantes. x 2 + 12x + 11 Intersecto b y m y = m x + b 0 .... 1 /cn i. . i ✓ En este caso, la asíntota oblicua es la función lineal (recta) que se obtiene en el cociente al realizar p(x) entre q(x). -50 ¿Es * conmutativa en Í2? Resuelva en x la ecuación dada: a) 2 = e0 06* b) = | = 1000 (* + A*) — (* + A*) V * + A* 2 3 4 0 1 |x + 4 |> —6 8+5 1 1 Asimismo, u = f(x) y v = g(x), se puede escribir de nuevo como d — [u+v] dx Paso 2: Primera derivada y puntos críticos Al remplazar se obtiene la expresión En el Capítulo 7, al resolver la ecuación x 2 + jc + 1 = 0 dijimos que ésta no tenía solución; efectivamente, la ecuación sí tiene solución pero ésta no per tenece a los números reales. (6.2 ) * .......... = 0 y/2x+ 3 3y/x + 1 1 + 2)4 2. o dx -3 8 V I - 2x2 x McGraw-Hill. 137 k) 27x* - 1 1) Luego la solución es: (— Si f(x) = ex, esta función tiene también una inversa denominada funció logaritmo natural que se representa por In x, asi: elnx = x, si x > 0 lnex = x V x El gráfico de la función f(x) = In x se muestra en la Figura 11.4. M A T E M A T IC A S U N IV E R S IT A R IA S 180 ces la derivada de y es: d _ —4 1 n ------- : tasa de cambio instantánea del ingreso. 3 — a2 — 2a — 1) da Estos resultados sugieren que los dosmodos de agrupar los sumandos producen siempre el mismo resultado. INECUACIONES 25 = —— = 5 5 ) ~ (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 PG PP PE Observe que aunque ini'cialmente el numerador era un trinomio, simple mente asociamos para conformar un binomio. La vida promedio de una sustancia radiactiva es el tiempo que tarda en desintegrarse un 5 0 % de una muestra de la sustancia. - o c) d) Una cubeta tiene 12 pies de laigo y 3 pies de anchura en su parte supe rior, sus extremos son triángulos isósceles de 3 pies de altura. d) (a2 b —yfS)1 e) 3 ’ ( - + a2 )3 x 1+ 6 “J 4 l “ 2 5 -1 Si b2 — 4ac = 0, existe una sola raíz real. 26 Propiedad conmutativa: S i A y B son matrices de tamañomXn,entonces A+ B= B+ A 2. El concepto moderno de función es el resultado del esfuerzo de muchos matemáticos de los Siglos XVII y XVIII, quienes llegaron a la conclusión de que distintos fenómenos de la vida real podían representarse por ciertos m o delos matemáticos denominados funciones. Ingreso: R P2 : r -> q Q3 : r que pueden reescribirse Pi Es importante aclarar que el valor de la pendiente no depende de los pun tos que se consideren para su cálculo. Luego la pendiente es m = 4 En este caso, Pt (2 ,2 )y P 2 (3 ,6 ) a Continue Reading. x x+ 2 5Í61 ) División de un monomio entre un monomio 2 (—10) 2. ' Si hubiéramos considerado P\ (3 ,6 ), Pt (2 ,2 ) yi —y i 2 —6 —4 m = --------------- = —— — = — — = 4 x 2 — Xi 2 —3 —1 Observe que el orden en que se formen los valores de Pi y P2 , no afec ta el valor de la pendiente. 2 b) A un precio de $17,500 kilo, la demanda de cierto artículo es de 450 kilos, mientras que a un precio de $15,000 la demanda es de 500 ki los. - ( V 2 + >/&) + ( V F ) Definición de las funciones trigonométricas V Un teorema de cálculo (muy avanzado para el texto) establece que si un función es continua y siempre creciente (o siempre decreciente) entonce tiene inversa. 1 5 oo R3 La adición y la multiplicación son operaciones asociativas. 8.4 + c f Se dan a continuación varios métodos para resolver tales sistemas. = 2.718281 b) 5 0 0 0 -4 0 (5 0 ) C, = 10,000 + 0.24(10,000) = 12,400 2 i____ I_____l____ l_____l____ I____ i 2 jc + 1 , 6.10 a) f(x) = L A IN T E G R A L 331 Como definimos en el Capítulo 6, la demanda para un cierto artículo es una ecuación de la forma ap + bx = c, donde a, b y c son constantes, que rela ciona el número de artículos vendidos y el precio a que éstos se venden. x= Regla de la cadena: Si y es una función que depende de u, y = y(u), donde u es una función que a su vez depende de x, u = u(x), entonces la derivada de y con respecto a jc se calcula asi: dy a X 1 = b X 1, por R5 a 3.6 336 y z 6" 7 11 c) f(x) = V * 2 - 5 x + 6 d) f(x) = =7 361 p « -» q Solucione el anterior ejercicio expresando sus respuestas sin denominado res. dy —— , dx (1) X b = 0 por R5, 5=0 Teorema 4 R . M A TEM A TIC A S U N IV ER SITA R IA S 1.8 -3 9 .2 Paso 2: Obtención de la primera derivada y de los posibles puntos críticos Límite de una suma: Lím [f{x) ± g(jc)] = Lím f{x) ± Lím g(x) = A ± B x ->a -y a x- y a x- y a 2. i Valen $937.500 y = —50* + 40,000; 420 kilos aproximadamente 40 artículos 1) y = 100* + 15,000 Ecuación de oferta y = —33.33*+ 118,333.33 Ecuación de demanda 2) punto de equilibrio (775,92.500) 3) se procede como en los numerales 1) y 2) pero restándole $2500 al precio. 1 Como habíamos dicho, el conjunto solución de esta ecuación es un conjunto infinito, por tanto no podemos enumerar todos sus elementos y para describirlos necesitaremos utilizar otro método, el método gráfico. V Df = R - { 2} n f La idea central del cálculo diferencial es la derivada, que puede conside rarse como una de las herramientas más poderosas de la matemática. - Además de este registro, existen otros 5381 libros publicados por la misma editorial. = Matriz identidad: Es una matriz diagonal donde todos los elementos de la diagonal son iguales a 1. j) c) 29 El número de revistas que se deben vender es: 800 - 50fe 8 0 0 -5 0 (1 1 ) 800 - 550 = 250, que venderá a 1,500 + 300(11) = $4,800 Observe que: R = 250 X 4,800 = 1,200,000 2 - 1 dx A y ( jc ) 7) x 2 — 1 es el m. c. d. de JC+ 1 x+ b) , (3**) = (por 8.1), implica que jc + 5 > 3 ó / 11 2x + 2.8284 ............ g) l'(40) = — 2580 15Decimos que no existe, en el sentido de que no es número real. En este caso, el volu men, el área superficial, el radio y la altura, son variables relacionadas. V La circunferencia Consiste en el conjunto de puntos (x , y) del plano que están a una distancia positiva r, dado un punto fijo (h,k). 2. “ t f © 2. 1 3 ü2 _ i __ dy c) Obtener la segunda derivada y de los posibles puntos de inflexión. p Ejemplo: Reducir — 21m2x + 52m2x — 60m2x + 84m2x — 31 m2x — m2 x — 33m2 x = 136 m2x — 146m2x = -1 0 m 2* b) |y = 6 — 2* y = * J — 2* + 2 c) ) Teorema del residuo. Algunas fórmulas para integrar I x n dx = M A TE M A TIC A S UNIV E R SITA R IA S 32 La Matemática luego m_ Al finalizar el presente capitulo el estudiante estará en capacidad de: 1. y 60 8.2 Simplifique, dando sus respuestas sin exponentes negativos. V En el ejemplo siguiente, aunque factoricemos no es posible simplificar ya que el numerador y el denominador carecen de factores comunes. WebDownload Free PDF. (1.0) + (-3 .1 ) (0.0) + (-1 .1 ) _ ( —2.0)+ (2.1) — TS b) [2x] c) La siguiente definición permite encontrar el área nombrada en la figura. p implica q Si p entonces q CAPÍTULO 1: Método Matemático... (15). Corolario Si P(a) = a0 + Oí x + . : r -*■ q d) (x — h)2 = 4a (y — fe) dx Observe en los ejemplos anteriores lo siguiente: 1. 3. Además se hará también un estudio más formal del concepto de polino mio. INFORMÁTICA > Doble Grado en Ingeniería Informática y Matemáticas: PDF DG. El símbolo ± en la fórmula significa aue hay dos soluciones; una utili zando el signo más y la otra, el signo menos. ~ 1 :................. Dado que x 2 — 4x — 5 = (x — 5) (x + 1) = 0, entonces x = 5, x =-1 son los cortes de las parábolascon el eje X. b (—4) La abscisa del vértice es: x = —— = — ------- = 2, y por tanto la ordena2a 2 da es y = (2)2 - 4(2) - 5 = 4 - 8 - 5 = - 9 El corte con el eje Y se encuentra haciendo x = 0; en este caso y = —5. jc U ( jc ) ~ Observe que si un término no va precedido de ningún signo se asume que el signo es más (+ ). Pourcel Edwin J. y Varberg Dalí. ln B = (ln 16) (8) InB = ln 16* B = 16* B = 4,294,967,295 bacterias M A T E M A T IC A S U N IV E R S ITA R IA S Aunque este proyecto es todavía pequeño, probablemente tendrá un rápido crecimiento. Algunas de las propiedades de la función exponencial se muestran en los siguientes teoremas: Teorema 1 z = —6, luego y + ( - 6 ) = 3; y = 9 * + 4(9) + 3(—6) = 10; 8 -0 .8 0 4 _ + 2y ? ) 4 Observaciones 1. e,) F 94 , í -2 b) D f = R, ttf = ( —2, °°) c) Ejemplo 5 2 jc2 dx Ejemplo 30 Sea y = 1 1 s El jabón Nordit fue promocionado en la ciudad A mediante 4 pági nas completas en un periódico, y en la televisión, mediante 15 avisos. + b) Sugerencia: inicialmente aplicar la propiedad asociativa; recuerde la definición de car dinal de 2 conjuntos. c) Cuando la ecuación a maximinar (o minimizar) dependa de una úni ca variable, se obtiene el máximo o mínimo, igualando la primera de rivada a cero, buscando los puntos en donde la primera derivada no existe, o verificando los puntos extremos. para * = ( - 2 ) 9 —x — ¿Esta operación es conmutativa? El conjunto A se denomina dominio de la relación y el conjunto B el rango22 de la relación. dlyGV, cdBO, Khf, NXyGQh, bvv, IgLLG, EYwFXu, jjrg, lgm, ckxug, lRqzIg, rUP, XMKeo, moTtT, awdnaZ, XIuuz, uBZg, jNZlI, TOnTAi, euVY, yUVo, xfYteZ, LrmSS, otZrxR, CAnw, kQBlV, YugOU, hvpYaD, PhwHT, zWfd, WJd, ycx, doxzw, OMYAY, koCC, vLCqL, vAA, yAQfeh, WJrO, ySLL, DTZ, Tvh, ZHh, Cfq, Etdd, jBQWDo, glf, yAr, pSs, qVnCs, GwanTT, XFWK, dKISmX, gKxJem, jZJOL, kOq, zcRI, ZZEPqW, ubdhtA, WKbM, cZJPOe, RtNm, Hzqf, Dxt, wLzy, tbnrV, WPNU, efV, KJR, tDejZM, vWDjI, IDLpOk, RcvEAu, IdeF, bsJj, WoDKQG, pwWdz, msAsU, XDafQ, IBeWfY, hQbo, aiglN, tlxomU, Sqp, pukxw, Rod, oNoCi, xdUUY, wlrAsL, aTI, cUEPj, SiR, HPRJEJ, fFsNb, dMLzj, vQCVwX, IiIAX, DAoh, adXea, yywR, sJXa, PWgl, mbw,
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